Đại số tuyến tính và giải tích là hai lĩnh vực quan trọng của toán học, có ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học và kỹ thuật. Đại số tuyến tính nghiên cứu các đối tượng như ma trận, vector, không gian vector, phép biến đổi tuyến tính, giá trị riêng và vector riêng, hệ phương trình tuyến tính, định thức và các khái niệm liên quan. Giải tích nghiên cứu các đối tượng như hàm số, giới hạn, đạo hàm, tích phân, chuỗi, chuỗi lũy thừa, phương trình vi phân và các khái niệm liên quan. Chương trình học của môn Đại số tuyến tính và giải tích bao gồm các nội dung sau:
– Cơ bản về ma trận và vector: khái niệm, phép toán, ma trận đơn vị, ma trận nghịch đảo, ma trận chuyển vị, ma trận đối xứng, ma trận vuông.
– Không gian vector: khái niệm, ví dụ, không gian con, tổng không gian con, không gian sinh bởi một tập vector, cơ sở và chiều của không gian vector.
– Phép biến đổi tuyến tính: khái niệm, ví dụ, ma trận biểu diễn phép biến đổi tuyến tính, hạng của phép biến đổi tuyến tính, nhân của hai phép biến đổi tuyến tính.
– Giá trị riêng và vector riêng: khái niệm, ví dụ, đa thức đặc trưng của một ma trận hoặc một phép biến đổi tuyến tính, phương trình giá trị riêng, không gian riêng tương ứng với một giá trị riêng.
– Hệ phương trình tuyến tính: khái niệm, ví dụ, phương pháp Gauss-Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính, nghiệm tổng quát của hệ phương trình tuyến tính.
– Định thức: khái niệm, ví dụ, công thức để tính định thức của một ma trận vuông bằng cách khai triển theo một hàng hoặc một cột, các tính chất của định thức.
– Hàm số một biến: khái niệm, ví dụ, miền xác định của hàm số, giới hạn của hàm số khi x tiến đến một điểm hoặc vô cùng.
– Đạo hàm: khái niệm, ví dụ, công thức để tính đạo hàm của một hàm số theo quy tắc dây chuyền, quy tắc tích và quy tắc thương. Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và cực trị của hàm số.
– Tích phân: khái niệm, ví dụ, công thức để tính tích phân bất định của một hàm số theo quy tắc ngược của quy tắc dây chuyền. Ứng dụng của tích phân để tính diện tích và thể tích.
– Chuỗi: khái niệm, ví dụ, điều kiện để một chuỗi hội tụ. Chuỗi lũy thừa: khái niệm, ví dụ, bán kính và miền hội tụ của một chuỗi lũy thừa.
– Phương trình vi phân: khái niệm, ví dụ, phương trình vi phân bậc nhất, phương trình vi phân bậc hai, phương trình vi phân tuyến tính, phương trình vi phân có hệ số hằng. Phương pháp để giải các loại phương trình vi phân đơn giản.